[2014년 백석고]

--

[1학년 2학기 중간]

두 집합
[eqn: A= LEFT { 1,```4 RIGHT }],
[eqn: B= LEFT { x`|`x는```3의```배수가```아닌```10```이하의```자연수 RIGHT }]
일 때, [eqn: A SUBSET X SUBSET B]를 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수는? [3.8점]

②

① [eqn: 16]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 128]	⑤ [eqn: 256]

다음 명제 중 역이 거짓인 것은? [3.8점]

④

① [eqn: n<3]이면 [eqn: n^2`<4]이다.
② [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: n^2]도 홀수이다.
③ [eqn: x]가 [eqn: 2]의 배수이면 [eqn: x]는 [eqn: 6]의 배수이다.
④ 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2`-5x+6 !=0]이면 [eqn: x!=1]이다.
⑤ 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m]또는 [eqn: n]이 홀수이면

[eqn: m+n]이 홀수이다.

[eqn: x= sqrt { 2}]일 때, [eqn: {sqrt {x+1} + sqrt {x-1}} over {sqrt {x+1} - sqrt {x-1}} =a+b sqrt {2}]이다. 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?   [4.1점]

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

어느 축구 동호회 회원 [eqn: 50]명을 대상으로 지난 토요일과 일요일에 축구 경기를 시청한 회원 수를 조사하였다. 그 결과 토요일에 시청한 회원은 [eqn: 35]명 일요일에 시청한 회원은 [eqn: 46]명이었다. 토요일과 일요일에 모두 시청한 회원 수의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? [4.1점]

⑤

① [eqn: 62]	② [eqn: 63]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 66]

자연수 전체의 집합 [eqn: N]에 대하여 집합
[eqn: A= LEFT { x`left|` {24} over {x} IN N,```x IN N RIGHT }], [eqn: B= LEFT { x`left|{`18} over {x} IN N,```x IN N RIGHT }],
[eqn: C= LEFT { A SMALLINTER (A CUP B ^{c} ) RIGHT } SMALLINTER LEFT { (A SMALLINTER B ^{c} ) CUP B ^{c} RIGHT }]
일 때, [eqn: n(C)]의 값은? [4.1점]

①

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 부등식이 항상 성립하는 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.3점]

① ㄱ, ㄴ	② ㄴ, ㄷ	③ ㄴ, ㅁ
④ ㄷ, ㄹ, ㅁ	⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ

③

ㄱ. [eqn: a>b]이면 [eqn: a^2`>b^2]

ㄴ. [eqn: 2(a^2`+b^2`) GEQ(a+b)^2]

ㄷ. [eqn: a+b GEQ2 sqrt { ab}]

ㄹ. [eqn: LEFT | a-b` RIGHT | LEQ LEFT | a+b RIGHT |]
ㅁ. [eqn: LEFT | a RIGHT | - LEFT | b RIGHT | LEQ LEFT | a-b RIGHT |]

집합 [eqn: X= LEFT { x`|`x LEQ a RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수
[eqn: f(x)=-x ^{2`} +4x+4]가 일대일 대응일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4.3점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 두 함수 [eqn: f], [eqn: g]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: h CIRC f=g]를 만족시키는 함수 [eqn: h]에 대하여 [eqn: h(9)]의 값은? [4.3점]

(가) [eqn: (f CIRCf)(x)=2x+1]이다.
(나) [eqn: (g CIRC f)(x)=x ^{2} +3x-4]이다.

④

① [eqn: 9]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 29]

유리함수 [eqn: f(x)= {ax+b} over {cx+d}]의 그래프가 아래와 같고
[eqn: (g CIRC f)(x)=(f CIRC g)(x)=x]를 만족시키는 함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: g(1)]의 값은? (단, [eqn: f(0)=0]) [4.3점]

③

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

일대일 대응인 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]에 대하여
[eqn: g(x)=3x+1]이고, [eqn: (f CIRCg)^-1`(x)=1-2x]을 만족할 때
[eqn: f(-2)]의 값은? [4.5점]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: y= {ax+b} over {x+c}]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=x+4], [eqn: y=-x-2]에 대하여 각각 대칭이고 한 점  [eqn: LEFT ( 1,``` {3} over {2} RIGHT )]을 지날 때, 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 합 [eqn: a+b+c]의 값은? [4.5점]

⑤

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 9]

무리함수 [eqn: f(x)=- sqrt {ax-b} +c]와 그 역함수 [eqn: y=f ^{-1} (x)]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수, [eqn: a != 0]) [4.5점]

②

ㄱ. [eqn: y=f(x)]의 정의역은 [eqn: LEFT { x`left|`x GEQ {b} over {a} RIGHT }]이다.

ㄴ. [eqn: y=f ^{-1} (x)]의 정의역은 [eqn: LEFT { x`|`x LEQ c RIGHT }]이다.

ㄷ. [eqn: b=ac]이면 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f ^{-1} (x)]의 그래프는
두 점에서 만난다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=- {1} over {x+1}]에 대하여
[eqn: f _{1} (x)=f(x)],   [eqn: f _{n+1} =f(f _{n} (x))```(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]
로 정의할 때, [eqn: f _{50} LEFT ( {1} over {3} RIGHT )]의 값은? [4.7점]

①

① [eqn: -4]	② [eqn: - {3} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {4} over {3}]

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건, [eqn: q]는 [eqn: SIM p]이기 위한 필요조건이고, [eqn: SIM p]은 [eqn: r]이기 위한 충분조건이라고 할 때, [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.7점]

②

ㄱ. [eqn: P-R= EMPTYSET]	ㄴ. [eqn: Q-P SUBSET R]

ㄷ. [eqn: Q-R ^{c} `=R]	ㄹ. [eqn: P-(Q ^{c`} CUP R ^{c} `)= EMPTYSET]

① ㄱ, ㄴ	② ㄴ, ㄷ	③ ㄱ, ㄴ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

서술형

전체집합 [eqn: U= LEFT { x`|`x는```6```이하의```자연수 RIGHT }]에 대하여 명제 [eqn: p]가 다음과 같다.

(1) [eqn: k=5]

(2) 부정 : 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x LEQ k]이다.

[eqn: p] : 어떤 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x>k]이다.

(1) [eqn: p]가 참이 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 최댓값을 구하고

그 과정을 서술하시오. [4.0점]

(2) [eqn: p]의 부정을 말하고, 부정인 명제가 참이 되도록 하는

[eqn: k]값의 최솟값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [6.0점]

[eqn: sqrt {2}]가 무리수임을 증명하시오. [10.0점]

귀류법

유리수라고 가정하면 서로소인 두 정수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여

[eqn: { q} over {p }]로 나타낼 수 있어야 한다. 정리해보면 둘 다 짝수

나와서 개망.

무리함수 [eqn: y=- sqrt {-2x+k}]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+1]이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하고 그 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: -3<`k` LEQ -2]

실수 [eqn: x], [eqn: y]가 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {9} =1]을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: x= {4 sqrt {13}} over {13}], [eqn: y= {9 sqrt {13}} over {13}]일 때, [eqn: x+y]의 최솟값 : [eqn: sqrt {13}]

(2) [eqn: x=- sqrt {2}], [eqn: y= {3} over {2} sqrt {2}] 또는 [eqn: x= sqrt {2}], [eqn: y=- {3} over {2} sqrt {2}]일 때
[eqn: xy]의 최솟값 : [eqn: -3]

(1) [eqn: x+y]의 최댓값과 그때의 각각 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 구하고

그 과정을 서술하시오.  [5.0점]

(2) [eqn: xy]의 최솟값과 그때의 각각의 [eqn: x], [eqn: y]값을 구하고

그 과정을 서술하시오. [5.0점]

[2014년 백석고]

[1학년 2학기 중간]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com